Другие журналы
Сетевое издание Радиооптика

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл. № ФС 77-61860. ISSN 2413-0974

Об усреднении системы уравнений лучистого теплопереноса по углу

Радиооптика # 02, март 2015
DOI: 10.7463/rdopt.0215.0786356
Файл статьи: Rdopt_Mar2015_069to082.pdf (851.58Кб)
авторы: Романов А. С.1, Семиколенов А. В.1, Смирнова Н. С.1

УДК 536.23

1 Россия,  МГТУ им. Н.Э. Баумана

Описание переноса энергии излучением основывается на уравнении переноса излучения, которое в квазистационарном («нерелятивистском») приближении имеет вид:


Здесь

 

- интенсивность излучения частоты ν в точке пространства, определяемой радиус-вектором r , в момент времени t , распространяющегося в направлении единичного вектора Ω;

- модифицированный коэффициент ослабления излучения, T( r, t ) - температура вещества;

- равновесная спектральная интенсивность излучения, определяемая по формуле Планка:

 - равновесная спектральная объемная плотность лучистой энергии, c - скорость света в вакууме.
Вторым основным соотношением теории лучистого переноса энергии может служить определение спектрального потока лучистой энергии:


где интегрирование предполагается по полному телесному углу 4π.
Из (1) и (2) можно получить соотношение, которое часто называют уравнением непрерывности излучения:


Анализ соотношений полученных для задачи с «плоской» симметрией свидетельствует, что на самом деле, при «плоской» симметрии удается перейти к скалярным соотношениям для расчета поля излучения. Причем спектральная плотность лучистой энергии и спектральная плотность потока лучистой энергии в этом случае вычисляются как функционалы от температуры вещества. В этом  случае  получается приближенное соотношение, выражающее суть усреднения уравнений лучистого теплопереноса по углу:


Если в (4) положить ω* = 1/3, то соотношение (4) совпадает с известным диффузионным приближением


основанием для применения которого является близость углового распределения интенсивности

к изотропному распределению. Таким образом, возможность усреднения уравнений лучистого теплопереноса по углу может возникать как результат близости процесса лучистого переноса к плоской симметрии. Причем нет никаких ограничений на дифференциальные свойства поля температур излучающего вещества, кроме ограниченности температуры. Например, соотношение (4) может быть применено для расчета лучистого теплопереноса вблизи фронта ударной волны в газе, на котором реализуется скачек температуры, надо лишь уточнить по (4) подходящее значение коэффициента ω*.
В общем случае произвольного поля температур излучающего вещества можно предложить способ оценки, позволяющий обоснованно использовать полученные выше результаты для плоской симметрии. В случае, когда в качестве характерной была использована средняя спектральная длина свободного пробега излучения lν  безразмерный коэффициент ослабления излучения имеет порядок æν=O(1), а в случае

 - средняя спектральная длина свободного пробега излучения lν  много меньше характерной длины L. Если теперь для пространственных переменных выбрать в качестве характерной величины величину L, то в уравнении (1) в безразмерных переменных появляется малый параметр:


Уравнение (1') является сингулярно возмущенным уравнением по малому параметру ε <<  1. Если искать спектральную плотность интенсивности в виде:

0 < ε << 1, то в результате получим соотношение


которое  носит название приближения лучистой теплопроводности и в рассматриваемом приближении (то есть с точностью до величин О(ε)) совпадает с диффузионным приближением (4').
Ясно, что в конечном итоге, применение усреднения по углу зависит от характера зависимости температуры вещества T( r, t ) от пространственной переменной, которое можно преобразовать к виду


где числа λ1 и λ2 - значения соответствующей кривизны поверхности уровня в точке

Дальнейшее увеличение точности исследуемых приближений возможно, если гауссова кривизна поверхности уровня в точке

мала. То есть сумма

Тогда оказывается справедливым усреднение по углу (4), с точностью до величин O(ε3), и которое в общем случае должно быть переписано в векторном виде:


Соотношение (6) в таком векторном виде справедливо даже при расчете лучистого теплопереноса на фронте ударной волны, если только гауссова кривизна фронтовой поверхности мала.

Список литературы
  1. Романов А.С. О конечной скорости лучистого теплопереноса // Прикладная механика и техническая физика. 1987. № 1. С. 84-90.
  2. Романов А.С. О сравнении решений задачи Коши для некоторого класса интегродифференциальных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1988. Т. 28, № 3. С. 466-469.
  3. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Физматлит, 2008. 653 с.
  4. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами: пер. с англ. / под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.
  5. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. Т. 1. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. М.: Дрофа, 2013. 336 с.

Тематические рубрики:
Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65
  RSS
© 2003-2018 «Радиооптика» Тел.: +7 (915) 336-07-65